题目

题型：月考题难度：来源：

已知函数f（x）=px--2lnx。
（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线；
（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围。

答案

解：（1）当p=2时，函数
f（1）=2-2-2ln1=0，f′（x）=
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=2+2-2=2
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），
即y=2x-2。
（2）
令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，
只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，
由题意p>0，h（x）=px²-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为
∴
只需
即p≥1时，h（x）≥0，f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）。