题目
题型:模拟题难度:来源:
(1)设两曲线y=f(x)与y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同,若a>0,试建立b关于a的函数关系式,并求b的最大值;
(2)若b=0时,函数h(x)=f(x)+g(x)-(2a+6)x在(0,4)上为单调函数,求a的取值范围。
答案
解:(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同,
f′(x)=x+2a,g′(x)=,
由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0)
即,
解得x0=a或x0=-3a(舍去),b=(a>0),
b"(a)=5a-6alna-3a=2a(1-3lna),
;
(2)
要使h(x)在(0,4)上单调,须h′(x)=x+-6≤0或h′(x)=x+-6≥0在(0,4)上恒成立,
h′(x)=x+-6≤0在(0,4)上恒成立3a2≤-x2+6x在(0,4)上恒成立,
而-x2+6x>0,且-x2+6x可为足够小的正数,必有a=0或在(0,4)上恒成立
,得a≥3或,
综上,所求a的取值范围为或或a=0。
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a,b∈R。(1)设两曲线y=f(x)与y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同,若a>0,】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)当时,求函数f(x)在x=0处的切线方程;
(Ⅱ)函数f(x)是否存在零点,若存在,求出零点的个数;若不存在,说明理由。
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