题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
设函数f(x)=ax+(a,b∈Z)，曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y=3。
（Ⅰ）求f(x)的解析式：
（Ⅱ）证明：函数y=f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值。

答案

（Ⅰ）
（Ⅱ）证明见解析。
（Ⅲ）证明见解析。

解析

（Ⅰ），
于是。
解得或。
因，故。
（II）证明：已知函数都是奇函数，
所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形。
而函数。
可知，函数的图像按向量a=(1,1)平移，即得到函数的图象，故函数的图像是以点（1，1）为中心的中心对称图形。
（III）证明：在曲线上任一点。
由知,过此点的切线方程为。
令得，切线与直线交点为。
令得，切线与直线交点为。
直线与直线的交点为(1,1)。
从而所围三角形的面积为。
所以，所围三角形的面积为定值2。