题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
　　　已知函数。
　　（Ⅰ）设{a_n}是正数组成的数列，前n项和为S_n，其中a₁=3，若点 (n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n, S_n）也在y=f′(x)的图象上；
　　（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值。

答案

（Ⅰ）证明见解析。
（Ⅱ）当,此时无极小值；
当的极小值为,此时无极大值；
当既无极大值又无极小值。

解析

(Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x²+2x,
由点在函数y=f′(x)的图象上,
又所以
所以,又因为′(n)=n²+2n,所以,
故点也在函数y=f′(x)的图象上.
(Ⅱ)解:,
由得.
当x变化时,﹑的变化情况如下表:

x	(-∞,-2)	-2	(-2,0)	0	(0,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

 
注意到,从而
①当,此时无极小值；
②当的极小值为,此时无极大值；
③当既无极大值又无极小值。