题目
题型:不详难度:来源:
已知函数的图象过点,且在点处的切线与直线垂直.
(1) 求实数的值; (6分)
(2) 求在(为自然对数的底数)上的最大值; (5分)
(3) 对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点,使得是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上? (5分)
答案
由题意得:,即, ………4分
解得:。 ………6分
(2)由(1)知:
①当时,,
解得;解得或
∴在和上单减,在上单增,
由得:或, ………7分
∵ ,
∴在上的最大值为。
②当时,,
当时,;当时,在单调递增;
∴在上的最大值为。 --……9分
∴当时,在上的最大值为;
当时,在上的最大值为。 …………11分
(3)假设曲线上存在两点满足题意,则只能在轴两侧,不妨设,则,且。
∵是以为直角顶点的直角三角形
∴,即(*) ……13分
是否存在等价于方程(*)是否有解。
①若,则,代入方程(*)得:,
即:,而此方程无实数解,从而,
∴,代入方程(*)得:,
即:,
设,则在恒成立,
∴在上单调递增,从而,则的值域为。
∴当时,方程有解,即方程(*)有解。
∴对任意给定的正实数,曲线上总存在两点,
使得是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴
解析
核心考点
举一反三
A.1 | B.2 | C.3 | D.6 |
A. | B. | C. | D. |
①若取得极值;
②若,则f(x)>0在上恒成立;
③已知函数,则的值为;
④一质点在直线上以速度运动,从时刻到时质点运动的路程为。
已知函数
(1)试用含有a的式子表示b,并求的单调区间;
(2)设函数的最大值为,试证明不等式:
(3)首先阅读材料:对于函数图像上的任意两点,如果在函数图象上存在点,使得在点M处的切线,则称AB存在“相依切线”特别地,当时,则称AB存在“中值相依切线”。
请问在函数的图象上是否存在两点,使得AB存在“中值相依切线”?若存在,求出一组A、B的坐标;若不存在,说明理由。
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