题目
题型:不详难度:来源:
答案
解析
证明:pf(x)+qf(y)-f(px+qy)
=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b
=p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy
=pq(x-y)2(因为p+q=1).
充分性:若0≤p≤1,q=1-p∈[0,1].
所以pq≥0,所以pq(x-y)2≥0,
所以pf(x)+qf(y)≥f(px+qy).
必要性:若pf(x)+qf(y)≥f(px+qy),
则pq(x-y)2≥0,
因为(x-y)2≥0,所以pq≥0.
即p(1-p)≥0,所以0≤p≤1.
综上,原命题成立.
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2+ax+b,当p,q满足p+q=1时,证明:pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对于任意实数x,y都成立的充要条件是0≤p≤1.】;主要考察你对不等式的概念与性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.a+b≥2(+1) | B.a+b≤+1 |
C.a+b≤(+1)2 | D.a+b>2(+1) |
A.①② | B.①③ | C.②③ | D.①②③ |
A.2ab-1-a2b2≤0 |
B.a2+b2-1-≤0 |
C.-1-a2b2≤0 |
D.(a2-1) (b2-1)≥0 |
A.S≥2P | B.P<S<2P |
C.S>P | D.P≤S<2P |
A.|x1|>2且|x2|>2 | B.|x1+x2|<4 |
C.|x1+x2|>4 | D.|x1|=4且|x2|=1 |
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