题目

题型：广东省月考题难度：来源：

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）·f（y）（x、y∈R）且，
（1）当n∈N⁺时，求f（n）的表达式；
（2）设，若S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，求证S_n＜2
（3）设，T_n为{b_n}的前n项和，求．

答案

解：（1）∵f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）（x，y∈R）
令x=n，y=1则f（n+1）=f（n）·f（1）（n∈N⁺）
由
∴（n∈N⁺）
∴{f（n）}是以为首项，公比为的等比数列
则
（2）由（n∈N⁺）
∴，

两式相减：
=
∴
∴n∈N⁺时
∴
（3）由于
∴
则=
=