题目

题型：不详难度：来源：

根据如图所示的程序框图，将输出a，b的值依次分别记为a₁，a₂，…，a_n，…，a₂₀₀₈；b₁，b₂，…，b_n，…，b₂₀₀₈．
（Ⅰ）求数列 { a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）写出b₁，b₂，b₃，b₄，由此猜想{ b_n}的通项公式，并证明你的证明；
（Ⅲ）在 a_k与 a_k+1中插入b_k+1个3得到一个新数列 { c_n }，设数列 { c_n }的前n项和为S_n，问是否存在这样的正整数m，使数列{ c_n }的前m项的和S_m=2008，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．
．

答案

（Ⅰ）a₁=1，a_n+1=a_n+1，∴{ a_n}是公差为1的等差数列．∴a_n=n．
（Ⅱ）b₁=0，b₂=2，b₃=8，b₄=26，
猜想b_n=3^n-1-1．证明如下：b_n+1=3b_n+2，b_n+1+1=3（b_n+1），
∴{ b_n+1}是公比为3的等比数列．∴b_n+1=（b₁+1）3^n-1=3^n-1．则b_n=3^n-1-1．
（Ⅲ）数列{c_n}中，a_k项（含a_k）前的所有项的和是（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1）=

k(k+1)

2

+

3k-3

2

，
估算知，当k=7时，其和是28+

37-3

2

=1120＜2008，当k=8时，其和是36+

38-3

2

=3315＞2008，又因为2008-1120=888=296×3，是3的倍数，
故存在这样的m，使得S_m=2008，此时m=7+（1+3+3²+…+3⁵）+296=667．