题目

题型：不详难度：来源：

数列{a_n}的前n项和S_n=n（2n-1）a_n，并且a1=

1

3

，
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）判断前n项和S_n组成的新数列{S_n}的单调性，并给出相应的证明．

答案

（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（2n-1）a_n-（n-1）（2n-3）a_n-1，得

an

an-1

=

2n-3

2n+1

∴

a2

a1

a3

a2

a4

a3

a5

a4

…

an-1

an-2

an

an-1

=

1

5

×

3

7

×

5

9

×

7

11

…

2n-5

2n-1

×

2n-3

2n+1

又a1=

1

3

得an=

1

(2n-1)(2n+1)

（2）因为S_n=n（2n-1）a_n=

n

2n+1

，Sn+1-Sn=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

＞0对于任意的正整数都成立，所以S_n+1＞S_n，即前n项和S_n组成的新数列{S_n}为递增数列．