对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．计算：[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log21 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．计算：[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]的值=______．

答案

当[log₂x]=n，n∈N时，2ⁿ≤x＜2 ⁿ⁺¹，若x是正整数，则x共有2ⁿ项∴原式=0+（1+1）+（2+2+2+2）+（3+3+3+3+3+3+3+3）+…+（9+9+…9）+10
=0+2×1+2²×2+2³×3+2⁴×4+…2⁹×9+10．令S=2×1+2²×2+2³×3+2⁴×4+…2⁹×9①则2S=2²×1+2³×2+2⁴×3+2⁴×4+…2⁹×8+2¹⁰×9②
①-②得-S=2¹+2²+2³+2⁴+…+2⁹-2¹⁰×9=-2（1-2⁹）-2¹⁰×9=-8194．
∴原式8194+10=8204
故答案为：8204．

核心考点

试题【对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．计算：[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log21】；主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]

举一反三

记n项正项数列为a₁，a₂，…，a_n，T_n为前n项的积，定义

n	T1T2…Tn

为“叠乘积”．如果有1618项的正项数列a₁，a₂，…，a₁₆₁₈的“叠乘积”为2¹⁶¹⁹，则有1619项数列2，a₁，a₂，…，a₁₆₁₈…的“叠乘积”为（　　）

A．2¹⁶²⁰

B．2¹⁶¹⁹

C．2¹⁶¹⁸

D．2¹⁶²¹

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若（1-3x）²⁰¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₀x²⁰¹⁰（x∈R），则

+…+

a2010

42010

=______．

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等比数列{a_n}的首项为a₁=2，公比q=3，则

a1a2

a2a3

+…+

anan+1

=______．

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定义：数列{a_n}的前n项的“均倒数”为

a1+a2+…+an

．若数列{a_n}的前n项的“均倒数”为

n+2

，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知bn=tan(t＞0)，数列{b_n}的前n项和S_n，求

lim

n→∞

Sn+1

的值；
（3）已知cn=(

)n，问数列{a_n•c_n}是否存在最大项，若存在，求出最大项的值；若不存在，说明理由．

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设数列{a_n}是等比数列，a₁=C_2m^3m-2•P_m-1¹（m∈N^*），公比q是(x+

4x2

)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）求常数m的值；
（2）用n、x表示数列{a_n}的前项和S_n；
（3）若T_n=C_n¹S₁+C_n²S₂+…+C_nⁿS_n，用n、x表示T_n．

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