若数列{an}满足：a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan（p，q是常数），则称数列{an}为二阶线性递推数列，且定义方程x2=px+q为数列{an}的特征方程，方程的根称为特征根； 数列{an}的通项公式an均可用特征根求得：
①若方程x2=px+q有两相异实根α，β，则数列通项可以写成an=c1αn+c2βn，（其中c1，c2是待定常数）；
②若方程x2=px+q有两相同实根α，则数列通项可以写成an=（c1+nc2）αn，（其中c1，c2是待定常数）；
再利用a1=m1，a2=m2，可求得c1，c2，进而求得an．根据上述结论求下列问题：
（1）当a1=5，a2=13，an+2=5an+1-6an（n∈N*）时，求数列{an}的通项公式；
（2）当a1=1，a2=11，an+2=2an+1+3an+4（n∈N*）时，求数列{an}的通项公式；
（3）当a1=1，a2=1，an+2=an+1+an（n∈N*）时，记Sn=a1Cn1+a2Cn2+…+anCnn，若Sn能被数8整除，求所有满足条件的正整数n的取值集合． |
（1）由an+2=5an+1-6an可知特征方程为：x2-5x+6=0，x1=2，x2=3…（3分）
所以 设 an=c1•2n+c2•3n，由得到c1=c2=1，
所以 an=2n+3n； …（6分）
（2）由an+2=2an+1+3an+4可以得到（an+2+1）=2（an+1+1）+3（an+1）
设bn=an+1，则上述等式可以化为：bn+2=2bn+1+3bn…（8分）
b1=a1+1=2，b2=a2+1=12，所以bn+2=2bn+1+3bn对应的特征方程为：x2-2x-3=0，x1=-1，x2=3…（10分）
所以令 bn=c1•3n+c2•（-1）n，由b1=2，b2=12可以得出
所以bn=•3n+•(-1)n…（11分）
即 an=•3n+•(-1)n-1，n∈N*…（12分）
（3）同样可以得到通项公式an=[()n-()n]，n∈N*…（14分）
所以Sn=a1Cn1+a2Cn2+a3Cn3+…+anCnn=[()1-()1]+[()2-()2]+[()3-()3]+…+[()n-()n]=[()1+()2+()3+…+()n]-[()1+()2+()3+…+()n]=[(1+)n-(1+)n]=[()n-()n]
即 Sn=[()n-()n]， n∈N*…（14分）Sn+2=[()n+2-()n+2]=[()n+1-()n+1]••[()+()]-[()n-()n]=3Sn+1-Sn
即 Sn+2=3Sn+1-Sn，n∈N*…（16分）
因此Sn+2除以8的余数，完全由Sn+1，Sn除以8的余数确定，
因为a1=1，a2=1所以 S1=C11a1=1，S2=C21a1+C22a2=3，S3=3S2-S1=9-1=8，S4=3S3-S2=24-3=21，S5=3S4-S3=63-8=55，S6=3S5-S4=165-21=144，S7=3S6-S5=432-55=377，S8=3S7-S6=1131-144=987，S9=3S8-S7=2961-377=2584，
由以上计算及Sn+2=3Sn+1-Sn可知，数列{Sn}各项除以8的余数依次是：1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…，它是一个以6为周期的数列，从而Sn除以8的余数等价于n除以3的余数，所以n=3k，k∈N*，
即所求集合为：{n|n=3k，k∈N*}…（18分） |
核心考点
试题【若数列{an}满足：a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan（p，q是常数），则称数列{an}为二阶线性递推数列，且定义方程x2=px+q为数列{a】；主要考察你对
数列综合等知识点的理解。
[详细]举一反三
| 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n-1，则当n≥2时，++…+=______． |
已知数列{an}满足a1=1，点P（an，an+1）在直线x-y+1=0上，数列{bn}满足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=()n-1+()n-2+…++1，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=-anbn，求数列{cn}的前n项和Tn． |
已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2（n∈N*）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn=，Tn是数列{bn}的前n项和，试证明Tn＜． |
| （1002-992）+（982-972）+…+（22-12）=______． |
