题目

题型：吉安二模难度：来源：

设数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，对每一个k∈N^*，在a_k与a_k+1之间插入2^k-1个2，得到新数列{b_n}，设A_n、B_n分别是数列{a_n}和{b_n}的前n项和．
（1）a₁₀是数列{b_n}的第几项；
（2）是否存在正整数m，使B_m=2010？若不存在，请说明理由；否则，求出m的值；
（3）设a_m是数列{b_n}的第f（m）项，试比较：B_f（m）与2A_m的大小，请详细论证你的结论．

答案

（1）在数列{b_n}中，对每一个K∈N^*，
在a_k与a_k+1之间有2^k-1个2，∴a₁₀在数列{b_n}中的项数为：10+1+2+4+…+2⁸   …（2分）
=10+

1-29

1-2

=521即a10是数列{bn}中第521项   …（3分）
（2）a_n=1+（n-1）•2=2n-1，在数列{b_n}中，a_n及其前面所有项的和为：[1+3+5+…+（2n-1）]+（2+4+…+2^n-1）=n2+

2×(1-2n-1)

1-2

=2n+n2-2…（5分）
∵2¹⁰+10²-2=1122＜2010＜2¹¹+11²-2
且2010-1122=888=444×2
∴存在m=521+444=965，使得B_m=2010…（8分）
（3）由（2）知B_f（m）=2^m+m²-2又A_m=1+3+5+…+（2m-1）=m²
∴B_f（m）-2A_m=（2^m+m²-2）-2m²=2^m-（m²+2）…（10分）
当m=1时，2^m=2，m²+2=3，故2^m＜m²+2；
当m=2时，2^m=4，m²+2=6，故2^m＜m²+2；
当m=3时，2^m=8，m²+2=11，故2^m＜m²+2；
当m=4时，2^m=16，m²+2=18，故2^m＜m²+2； …（12分）
当m≥5时，2m=1+

C

1m

+

C

2m

+…+

C

m-2m

+

C

m-1m

+1≥2(1+m+

m(m-1)

2

)
因而当m=1，2，3，4时，B_f（m）＜2A_m；
当m≥5时且m∈N^*时，B_f（m）＞2A_m…（14分）