题目
题型:浙江难度:来源:
1 |
1+a1 |
1 |
(1+a1)(1+a2) |
1 |
(1+a1)(1+a2)…(1+an) |
求证:当n∈N•时,
(Ⅰ)an<an+1;
(Ⅱ)Sn>n-2.
答案
①当n=1时,因为a2是方程x2+x-1=0的正根,所以a1<a2.
②假设当n=k(k∈N*)时,ak<ak+1,
因为ak+12-ak2=(ak+22+ak+2-1)-(ak+12+ak+1-1)=(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1),
所以ak+1<ak+2.
即当n=k+1时,an<an+1也成立.
根据①和②,可知an<an+1对任何n∈N*都成立.
(Ⅱ)证明:由ak+12+ak+1-1=ak2,k=1,2,…,n-1(n≥2),
得an2+(a2+a3+…+an)-(n-1)=a12.
因为a1=0,所以Sn=n-1-an2.
由an<an+1及an+1=1+an2-2an+12<1得an<1,
所以Sn>n-2.
核心考点
试题【已知数列{an},an≥0,a1=0,an+12+an+1-1=an2(n∈N•).记Sn=a1+a2+…+an.Tn=11+a1+1(1+a1)(1+a2)+】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.11 | B.8 | C.6 | D.5 |
(1)an+1<
1 |
2 |
(2)若Sn表示数列{an}的前n项之和,则Sn<2a1.
(Ⅰ)求a4、a5,并写出an的表达式;
(Ⅱ)令bn=
an |
an+1 |
an+1 |
an |
1 |
2n |
nπ |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若cn=2n-1(n∈N*),求数列{bn•cn}的前n项和Sn.
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