题目

题型：福建省高考真题难度：来源：

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n(n∈N*)，
(Ⅰ)求数列{a_n}的通项a_n；
(Ⅱ)求数列{na_n}的前n项和T_n。

答案

解：（Ⅰ）∵a_n+1=2S_n，
∴S_n+1-S_n=2S_n，
∴=3，
又∵S₁=a₁=1，
∴数列{S_n}是首项为1，公比为3的等比数列，S_n=3^n-1(n∈N*)。
∴当n≥2时，a_n=2S_n-1=2·3^n-2(n≥2)，
∴a_n=；
(Ⅱ)T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
当n=1时，T₁=1；
当n≥2时，T_n=1+4·3⁰+6·3¹+2n·3^n-2，………①
3T_n=3+4·3¹+6·3²+…+2n·3^n-1，…………②
①-②得：-2T_n=-2+4+2(3¹+3²+…+3^n-2)-2n·3^n-1
=2+2·=-1+(1-2n)·3^n-1，
∴T_n=+(n-)3^n-1(n≥2)，
又∵T₁=a₁=1也满足上式，
∴T_n=+(n-)3^n-1(n∈N*)。