题目

题型：同步题难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和S_n，对一切正整数n，点（n，S_n）都在函数f（x）=2^x+2-4的图象上。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n·log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n。

答案

解：（1）由题意知，S_n=2ⁿ⁺²-4，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹，
当n=1时，a₁=S₁=2³-4=4，也适合上式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ⁺¹，n∈N*。
（2）∵b_n=a_nlog₂a_n=（n+1）·2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2·2²+3·2³+4·2⁴+…+n·2ⁿ+（n+1）·2ⁿ⁺¹，①
2T_n=2·2³+3·2⁴+4·2⁵+…+n·2ⁿ⁺¹+（n+1）·2ⁿ⁺² ②
②-①，得T_n=-2³-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）·2ⁿ⁺²=-2³-+（n+1）·2ⁿ⁺²
=-2³-2³（2^n-1-1）+（n+1）·2ⁿ⁺²=（n+1）·2ⁿ⁺²-2³·2^n-1=（n+1）·2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²=n·2ⁿ⁺²。