题目

题型：高考真题难度：来源：

已知数列{a_n} 的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+ ……+a_n，B（n）=a₂+a₃+ ……+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+ ……+a_n+2，n=1 ，2 ，…… 。
（1）若a₁=1 ，a₂=5 ，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n} 的通项公式，
（2）证明：数列{a_n} 是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列。

答案

解：（1）对任意，三个数是等差数列，
所以
即亦即
故数列是首项为1，公差为4的等差数列
于是。
（2）①必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，
有
由知，均大于0，
于是

即＝＝，
所以三个数组成公比为的等比数列。
②充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，
则，于是得
即
由有即，
从而
因为，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列。