题目

题型：四川省期中题难度：来源：

已知函数f（x）=，数列{a_n}满足：a_n＞0，a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N⁺
（I ）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若b_n=+1，对任意正整数n，不等式﹣≤0恒成立，求正数k的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）由题意，∵函数f（x）= ，a_n+1=f（a_n）
∴a_n+1= ， ∴ 
∵a₁=1，∴数列{ }是以1为首项，1为公差的等差数列．   
∴ =n，∴ 
（II）∵b_n= +1，∴b_n=2n+1，
∴对任意正整数n，不等式 ﹣ ≤0恒成立等价于  … 
记 … 
∴ … 
∴ = 
∴g（n+1）＞g（n），即g（n）在n∈N*上递增，
∴g（n）_min=g（1）= 
∴k∈（0， ]．