题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设Q={x|x=k_n，n∈N*}，R={x|x=2a，n∈N*}，等差数列{c_n}的任一项c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通项公式．

答案

（1）因为点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，
所以S_n=n²+2n，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
当n=1时，a_n=3满足上式，
所以数列{a_n}的通项公式a_n=2n+1；
（2）由f（x）=x²+2x求导得f′（x）=2x+2，
∴k_n=2n+2，∴Q={x|x=2n+2，n∈N*}，又R={x|x=4n+2，n∈N*}，
所以Q∩R=R，又c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，所以c₁=6，
又{c_n}是公差为4的倍数的等差数列，
所以令c₁₀=4m+6，又110＜c₁₀＜115，解得m=27，
所以c₁₀=114，设等差数列{c_n}的公差为d，则c₁₀-c₁₀=9d，d=12．
所以{c_n}的通项公式c_n=6+（n-1）×12=12n-6．