题目
题型:杭州二模难度:来源:
(1)求证:数列{xn}是等比数列;
(2)如果yn=18-3n,求实数k,b的值;
(3)如果存在t,s∈N*,s≠t,使得点(t,ys)和(s,yt)都在直线y=2x+1上,试判断,是否存在自然数M,当n>M时,xn>1恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,请说明理由.
答案
∴Sn=kxn+b,Sn+1=kxn+1+b
两式相减得Sn+1-Sn=kxn+1-kxn,即xn+1=kxn+1-kxn,
∵常数k≠0,且k≠1,∴
xn+1 |
xn |
k |
k-1 |
∴数列xn是等比数列.
(2)由yn=log0.5xn,得xn=(
1 |
2 |
∴
k |
k-1 |
8 |
7 |
又Pn在直线上,得Sn=kxn+b,
令n=1得b=S1-
8 |
7 |
1 |
7 |
8-5 |
7 |
(3)∵yn=log0.5xn∴当n>M时,xn>1恒成立等价于yn<0恒成立.
又yn=log0.5xn=log0.5(x1•qn-1)=nlog0.5q+log0.5
x1 |
q |
∴数列{yn}为等差数列
∵存在t,s∈N*,使得(t,ys)和(s,yt)都在y=2x+1上,
∴ys=2t+1 ①,yt=2s+1 ②.
①-②得:ys-yt=2(t-s),
∵s≠t∴yn是公差d=-2<0的等差数列
①+②得:ys+yt=2(t+s)+2,
又ys+yt=y1+(s-1)•(-2)+y1+(t-1)•(-2)=2y1-2(s+t)+4
由2y1-2(s+t)+4=2(t+s)+2,得y1=2(t+s)-1>0,
即:数列{yn}是首项为正,公差为负的等差数列,
∴一定存在一个最小自然数M,使
|
|
解得t+s-
1 |
2 |
1 |
2 |
即存在自然数M,其最小值为t+s,使得当n>M时,xn>1恒成立.
核心考点
试题【设数列{xn}的所有项都是不等于1的正数,前n项和为Sn,已知点Pn(xn,Sn)在直线y=kx+b上,(其中,常数k≠0,且k≠1),又yn=log0.5xn】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
(Ⅰ)问:数列{
1 |
Sn |
(Ⅱ)求Sn和an.
a5 |
a3 |
5 |
9 |
S9 |
S5 |
(Ⅰ)证明:{
1 |
an |
(Ⅱ)求数列{an}的通项;
(Ⅲ)若λan+
1 |
an+1 |
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