题目

题型：不详难度：来源：

数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足2anSn-an2=1．
（Ⅰ）求证数列{

S

2n

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

2

4S 4n -1

，求数列{b_n}的前n项和T_n，并求使T_n＞

1

6

（m²-3m） 对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

答案

（Ⅰ）证明：∵2anSn-an2=1，∴当n≥2时，2(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn-1)2=1，
整理得，Sn2-Sn-12=1（n≥2），（2分）
又S12=1，（3分）
∴数列{

S

2n

}为首项和公差都是1的等差数列．              （4分）
∴

S

2n

=n，
又S_n＞0，∴S_n=

n

                       （5分）
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n

-

n-1

，又a₁=S₁=1适合此式
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=

n

-

n-1

；（（7分）
（Ⅱ）∵b_n=

2

4S 4n -1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

（8分）
∴T_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

（10分）
∴T_n≥

2

3

，
依题意有

2

3

＞

1

6

（m²-3m），解得-1＜m＜4，
故所求最大正整数m的值为3   （12分）