题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求证:an2=2Sn-an;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)若bn=3n+(-1)n-1λ•2an(λ为非零常数,n∈N*),问是否存在整数λ,使得对任意 n∈N*,都有bn+1>bn.
答案
当n=1时,a13=a12.
∵a1>0,∴a1=1.
当n≥2时,a13+a23+a33+…+an3=Sn2.①a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12.②
①-②得 an3=an(2a1+2a2+…+2an-1+an)
∵an>0,∴an2=2a1+2a2+…+2an-1+an,
即an2=2Sn-an.
∵a1=1适合上式,
∴an2=2Sn-an(n∈N*).(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an2=2Sn-an(n∈N*).③
当n≥2时,an-12=2Sn-1-an-1.④
③-④得an2-an-12=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1.
∵an+an-1>0,∴an-an-1=1.
∴数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,可得an=n.(8分)
(Ⅲ)∵an=n,∴bn=3n+(-1)n-1λ•2an=3n+(-1)n-1λ•2n.
欲使bn+1-bn=[3n+1+(-1)nλ•2n+1]-[3n+(-1)n-1λ•2n]
|
即(-1)n-1•λ<(
3 |
2 |
当n=2k-1,k=1,2,3,…时,⑤式即为λ<(
3 |
2 |
依题意,⑥式对k=1,2,3…都成立,∴λ<1.
当n=2k,k=1,2,3,…时,⑤式即为λ>-(
3 |
2 |
依题意,⑦式对k=1,2,3,…都成立,∴λ>-
3 |
2 |
∴-
3 |
2 |
∴存在整数λ=-1,使得对任意n∈N*,都有bn+1>bn.(12分)
核心考点
试题【设数列{an}的各项都是正数,记Sn为数列{an}的前n项和,且对任意n∈N*,都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2.(Ⅰ)求证:an2=2Sn-an】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)数列{
1 |
Sn |
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
1 |
2 |
(1)求证{
1 |
Sn |
(2)设bn=
Sn |
2n+1 |
(3)是否存在自然数m,使得对任意自然数n∈N*,都有Tn<
1 |
4 |
(1)求证:数列{an}的奇数项,偶数项均构成等差数列;
(2)求{an}的通项公式;
(3)设bn=
an |
2n |
(1)求证:{an}是等差数列;
(2)设
1 |
S1 |
1 |
S2 |
1 |
S3 |
1 |
Sn |
2 |
2 |
A.6 | B.-6 | C.±6 | D.±12 |
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