题目
题型:朝阳区一模难度:来源:
(Ⅰ)求dm(3≤m≤n)关于m的表达式;
(Ⅱ)将数列dm分组如下:(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9)…,
(每组数的个数组成等差数列),设前m组中所有数之和为(cm)4(cm>0),求数列{2cmdm}的前n项和Sn;
(Ⅲ)设N是不超过20的正整数,当n>N时,对于(Ⅱ)中的Sn,求使得不等式
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答案
a2n-a1n=[1+(n-1)d2]-[1+(n-1)d1]=(n-1)(d2-d1),同理,a3n-a2n=(n-1)(d3-d2),a4n-a3n=(n-1)(d4-d3),,ann-a(n-1)n=(n-1)(dn-dn-1).a1n,a2n,a3n,,ann成等差数列,
所以a2n-a1n=a3n-a2n=…=ann-a(n-1)n,
故d2-d1=d3-d2=…=dn-dn-1.
即{dn}是公差是d2-d1=3-1=2的等差数列.
所以,dm=2m-1(3≤m≤n,m,n∈N*).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知dm=2m-1(m∈N*).
数列dm分组如下:(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),…
按分组规律,第m组中有2m-1个奇数,
所以第1组到第m组共有1+3+5+…+(2m-1)=m2个奇数.
注意到前k个奇数的和为1+3+5+…+(2k-1)=k2,
所以前m2个奇数的和为(m2)2=m4,即前m组中所有数之和为m4,
所以(cm)4=m4.
因为cm>0,所以cm=m,从而2cmdm=(2m-1)•2m(m∈N*).
所以Sn=1•2+3•22+5•23+7•24+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n.2Sn
=1•22+3•23+5•24+…+(2n-3)•2n+(2n-1)•2n+1,
故-Sn=2+2•22+2•23+2•24+…+2•2n-(2n-1)•2n+1
=2(2+22+23+…+2n)-2-(2n-1)•2n+1
=2×
2(2n-1) |
2-1 |
所以Sn=(2n-3)2n+1+6.
(Ⅲ)由(Ⅱ)得dn=2n-1(n∈N*),Sn=(2n-3)2n+1+6(n∈N*).
故不等式
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考虑函数f(n)=(2n-3)2n+1-50(2n-1)=(2n-3)(2n+1-50)-100.
当n=1,2,3,4,5时,都有f(n)<0,
即(2n-3)2n+1<50(2n-1).
而f(6)=9(128-50)-100=602>0,
注意到当n≥6时,f(n)单调递增,故有f(n)>0.
因此当n≥6时,(2n-3)2n+1>50(2n-1)成立,
即
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所以满足条件的所有正整数N=5,6,7,20.
核心考点
试题【有n(n≥3,n∈N*)个首项为1,项数为n的等差数列,设其第m(m≤n,m∈N*)个等差数列的第k项为amk(k=1,2,3,…,n),且公差为dm.若d1=】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
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an+1 |
A.该新数列不是等差数列 | B.是公差为d的等差数列 |
C.是公差为2d的等差数列 | D.是公差为3d的等差数列 |
1 |
2 |
A.60 | B.70 | C.75 | D.85 |
A.13项 | B.12项 | C.11项 | D.10项 |
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