题目
题型:闵行区一模难度:来源:
a | 2n |
(1)证明数列{an}是等差数列,并求其通项公式;
(2)证明:对任意m、k、p∈N*,m+p=2k,都有
1 |
Sm |
1 |
Sp |
2 |
Sk |
(3)对于(2)中的命题,对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗?如果成立,请证明你的结论,如果不成立,请说明理由.
答案
a | 2n |
a | 2n-1 |
两式相减得4an=
a | 2n |
a | 2n-1 |
∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
∵an>0,∴an-an-1=2,
又4S1=
a | 21 |
∴{an}是以a1=1为首项,d=2为公差的等差数列.
∴an=2n-1;
(2)由(1)知Sn=
(1+2n-1)n |
2 |
∴Sm=m2,Sk=k2,Sp=p2,
于是
1 |
Sm |
1 |
Sp |
2 |
Sk |
1 |
m2 |
1 |
p2 |
2 |
k2 |
k2(p2+m2)-2m2p2 |
m2p2k2 |
=
(
| ||
m2p2k2 |
mp×2pm-2m2p2 |
m2p2k2 |
∴
1 |
Sm |
1 |
Sp |
2 |
Sk |
(3)结论成立,证明如下:
设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+
n(n-1) |
2 |
n(a1+an) |
2 |
于是Sm+Sp-2Sk=ma1+
m(m-1) |
2 |
p(p-1) |
2 |
=(m+p)a1+
m2+p2-m-p |
2 |
将m+p=2k代入得,Sm+Sp-2Sk=
(m-p)2 |
4 |
∴Sm+Sp≥2Sk,
又SmSp=
mp(a1+am)(a1+ap) |
4 |
mp[
| ||
4 |
(
| ||||||
4 |
=
k2(a12+2a1ak+
| ||
4 |
k2(a1+ak)2 |
4 |
S | 2k |
∴
1 |
Sm |
1 |
Sp |
Sm+Sp |
SmSp |
2Sk | ||
|
2 |
Sk |
核心考点
试题【设数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,已知4Sn=a2n+2an+1(n∈N*).(1)证明数列{an}是等差数列,并求其通项公式;(2)证明:对任意m】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)分别判断集合M={0,2,4}与N=(1,2,3)是否具有性质P,并说明理由;
(2)①求证:0∈A;②当n=3时,集合A中元素a1、a2、a3是否一定成等差数列,若是,请证明;若不是,请说明理由;
(3)对于集合A中元素a1、a2、…an,若an=2012,求数列{an}的前n项和Sn(用n表示).
( I)求数列{an}的通项公式,写出它的前n项和Sn;
( II)求数列{bn}的通项公式;
( III)若cn=
2 |
an•an+1 |
(Ⅰ)当m=5时,写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{Cn};
(Ⅱ)是否存在数列{Cn},使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有的数列{Cn},若不存在,请说明理由.
A.前6项和最小 | B.前7项和最小 |
C.前6项和最大 | D.前7项和最大 |
(1)求证:数列{
1 |
an-t |
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设bn=
an |
(n+1)2 |
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