题目
题型:扬州三模难度:来源:
已知(1+
1 |
2 |
设F(x)=a1(x)+2a2(x)+3a3(x),…+nan(x)+(n+1)an+1(x).
(Ⅰ)若a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次成等差数列,求n的值;
(Ⅱ)求证:对任意x1,x2∈[0,2],恒有|F(x1)-F(x2)|≤2n-1(n+2).
答案
C | k-1n |
1 |
2 |
a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次为Cn0=1,
C | 1n |
1 |
2 |
n |
2 |
C | 2n |
1 |
2 |
n(n-1) |
8 |
所以2×
n |
2 |
n(n-1) |
8 |
解得n=8;
(Ⅱ)F(x)=a1(x)+2a2(x)+3a3(x),…+nan(x)+(n+1)an+1(x)=
C | 0n |
C | 1n |
1 |
2 |
C | 2n |
1 |
2 |
C | n-1n |
1 |
2 |
C | nn |
1 |
2 |
F(2)-F(0)=2Cn1+3Cn2…+nCnn-1+(n+1)Cnn
设Sn=Cn0+2Cn1+3Cn2…+nCnn-1+(n+1)Cnn,
则Sn=(n+1)Cnn+nCnn-1…+3Cn2+2Cn1+Cn0
考虑到Cnk=Cnn-k,将以上两式相加得:2Sn=(n+2)(Cn0+Cn1+Cn2…+Cnn-1+Cnn)
所以Sn=(n+2)2n-1
所以F(2)-F(0)=(n+2)2n-1-1
又当x∈[0,2]时,F"(x)≥0恒成立,
从而F(x)是[0,2]上的单调递增函数,
所以对任意x1,x2∈[0,2],|F(x1)-F(x2)|≤F(2)-F(0)═(n+2)2n-1-1<(n+2)2n-1.
核心考点
试题【理科附加题:已知(1+12x)n展开式的各项依次记为a1(x),a2(x),a3(x),…an(x),an+1(x).设F(x)=a1(x)+2a2(x)+3a】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.20 | B.22 | C.24 | D.28 |
S12 |
12 |
S10 |
10 |
Sn |
Tn |
7n+2 |
n+3 |
a2+a20 |
b7+b15 |
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