题目

题型：不详难度：来源：

已知{a_n}是等差数列，公差d＞0，前n项和为S_n且满足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．对于数列{b_n}，其通项公式bn=

Sn

n+C

，如果数列{b_n}也是等差数列．
（1）求非零常数C的值；      
（2）试求函数f(n)=

bn

(n+36)bn+1

（n∈N^*）的最大值．

答案

（1）∵{a_n}为等差数列，∴a₃+a₄=22…（1分）
由a₃•a₄=117，a₃+a₄=22知a₃，a₄是方程x²-22x+117=0的两个根
又d＞0
∴a₃=9，a₄=13                                      …（2分）
∴d=4，a₁=1
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3                            …（3分）
∴Sn=

a1+an

2

=

n(1+4n-3)

2

=n(2n-1)…（4分）
∴bn=

n(2n-1)

n+c

∵数列{b_n}也是等差数列
∴2b₂=b₁+b₃…（6分）
解得：c=-

1

2

或0（舍）
当c=-

1

2

时，b_n=2n满足题意．                      …（7分）
（2）∵f(n)=

bn

(n+36)bn+1

=

2n

(n+36)2(n+1)

=

n

n2+37n+36

=

1

n+ 36 n +37

≤

1

2 36 +37

=

1

49

当且仅当n=

36

n

即n=6时取等号．
∴f（n）的最大值为

1

49

．                             …（14分）