题目
题型:不详难度:来源:
(1)试用d,Sm,Sn表示Sm+n,其中m,n均为正整数;
(2)利用(1)的结论求“已知Sm=Sn(m≠n),求Sm+n”;
(3)若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q,前n项和为Sn,试类比问题(1)的结论,写出一个相应的结论且给出证明,并利用此结论求解问题:“已知各项均为正数的等比数列{bn},其中S10=5,S20=15,求数列{bn}的前50项和S50.”
答案
∴Sn=na1+
n(n-1) |
2 |
m(m-1) |
2 |
∴Sm+n=(m+n)a1+
(m+n)(m+n-1) |
2 |
=(m+n)a1+
m2+n2+2nm-m-n |
2 |
=ma1+
m(m-1) |
2 |
n(n-1) |
2 |
=Sm+Sn+mnd;
(2)由条件,可得Sm=ma1+
m(m-1) |
2 |
n(n-1) |
2 |
②×n-①×m得:
(m-n)sn=
1 |
2 |
1 |
2 |
整理得mnd=-2sn,,
则Sm+n=Sm+Sn+mnd=2sn-2sn=0.
(3)类比得到等比数列的结论是:若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q,前n项和为Sn,则对任意正整数m、n,都有sm+n=sm+qmsn.
证明如下:不妨设m≤n,则sm+n=(b1+b2+…+bm)+(bm+1+bm+2+…+bn+m)
=sm+(b1qm+b2qm+…+bnqm)
=sm+qm(b1+b2+…+bn)
=sm+qmsn,
∴sm+n=sm+qmsn.
问题解答如下:由s20=s10+10=s10+q10s10,得q10=
s20-s10 |
s10 |
15-5 |
5 |
则s30=s10+20=s10+q10s20=5+2×15=35,
∴s50=s20+30=s20+q20s30=15+22×35=155.
核心考点
试题【已知等差数列{an}的公差是d,Sn是该数列的前n项和、(1)试用d,Sm,Sn表示Sm+n,其中m,n均为正整数;(2)利用(1)的结论求“已知Sm=Sn(m】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
m |
n |
m |
n |
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且
CA |
AB |
AC |
x |
x+1 |
an+1 |
an |
| ||
2 |
1 |
an |
2 |
(Ⅱ)设{cn}为首项是c1,公差d≠0的等差数列,求证:“数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项”的充要条件是“存在整数m≥-1,使c1=md”.
A.18 | B.36 | C.45 | D.60 |
(1)若d1=18,且存在正整数m,使得am2=bm+14-45,求证:d2>108;
(2)若ak=bk=0,且数列a1,a2,---,ak,bk+1,bk+2,---,b14的前n项和Sn满足S14=2Sk,求数列{an},{bn}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,令cn=2an,dn=2bn,问不等式cndn+1≤cn+dn是否对n∈N*恒成立?请说明理由.
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