题目
题型:连云港二模难度:来源:
x |
x+1 |
an+1 |
an |
| ||
2 |
1 |
an |
2 |
(Ⅱ)设{cn}为首项是c1,公差d≠0的等差数列,求证:“数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项”的充要条件是“存在整数m≥-1,使c1=md”.
答案
an+1 |
an |
| ||
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所以
1 | ||
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1 | ||
|
即
1 | ||
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1 | ||
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1 | ||
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即an=
1 |
n2 |
因为Sn=
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2 |
1 |
an |
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
当n=1时,S1=b1=
2 |
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=1+
2 |
所以bn=
2 |
又因为b4+b6=4
2 |
2 |
2 |
所以令bt=10
2 |
则10
2 |
2 |
得到t=10+
| ||
2 |
所以b4+b6不在数列{bn}中.(8分)
(Ⅱ)充分性:若存在整数m≥-1,使c1=md.
设cr,ct为数列{cn}中不同的两项,
则cr+ct=c1+(r-1)d+c1+(t-1)d=c1+(r+m+t-2)d=c1+[(r+m+t-1)-1]d.
又r+t≥3且m≥-1,所以r+m+t-1≥1.
即cr+ct是数列{cn}的第r+m+t-1项.(11分)
必要性:若数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项,
则cs=c1+(s-1)d,ct=c1+(t-1)d,
(s,t为互不相同的正整数)
则cs+ct=2c1+(s+t-2)d,令cs+ct=cl,
得到2c1+(s+t-2)d=c1+(l-1)d(n,t,s∈N*),
所以c1=(l-s-t+1)d,
令整数m=l-s-t+1,所以c1=md. (14分)
下证整数m≥-1
若设整数m<-1,则-m≥2.令k=-m,
由题设取c1,ck使c1+ck=cr(r≥1)
即c1+c1+(k-1)d=c1+(r-1)d,
所以md+(-m-1)d=(r-1)d
即rd=0与r≥1,d≠0相矛盾,所以m≥-1.
综上,数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项的充要条件是存在整数m≥-1,使c1=md.(16分)
核心考点
试题【(Ⅰ)已知函数f(x)=xx+1.数列{an}满足:an>0,a1=1,且an+1=f(an),记数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=22[1an+(2+1)】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.18 | B.36 | C.45 | D.60 |
(1)若d1=18,且存在正整数m,使得am2=bm+14-45,求证:d2>108;
(2)若ak=bk=0,且数列a1,a2,---,ak,bk+1,bk+2,---,b14的前n项和Sn满足S14=2Sk,求数列{an},{bn}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,令cn=2an,dn=2bn,问不等式cndn+1≤cn+dn是否对n∈N*恒成立?请说明理由.
(1)求a3及S5的值; (2)求公差d的取值范围; (3)求证:S8≥64.
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