题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a1=

1

2

，Sn=n2an-n(n-1)，n=1，2，…
（1）证明：数列{

n+1

n

Sn}是等差数列，并求S_n；
（2）设bn=

Sn

n3

，求证：b₁+b₂+…+b_n＜1．

答案

证明：（1）由Sn=n2an-n(n-1)知，
当n≥2时：Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，…（1分）
即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1)，
∴

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1，对n≥2成立．                        …（3分）
又

1+1

1

S1=1
∴{

n+1

n

Sn}是首项为1，公差为1的等差数列．
∴

n+1

n

Sn=1+(n-1)•1…（5分）
∴Sn=

n2

n+1

…（6分）
（2）bn=

Sn

n3

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（8分）
∴b1+b2+…+bn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1…（12分）