题目

题型：朝阳区二模难度：来源：

已知点（n，a_n）（n∈N*）在函数f（x）=-6x-2的图象上，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n+8n+3，数列{d_n}满足d₁=c₁，dn+1=cdn（n∈N*）．求数列{d_n}的通项公式；
（Ⅲ）设g（x）是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数x₁、x₂，恒有g（x₁x₂）=x₁g（x₂）+x₂g（x₁）成立，且g（2）=a（a为常数，且a≠0），记bn=

g( dn+1 2 )

dn+1

，试判断数列{b_n}是否为等差数列，并说明理由．

答案

（Ⅰ）由已知a_n=-6n-2，故{a_n}是以a₁=-8为首项公差为-6的等差数列．
所以S_n=-3n²-5n．
（Ⅱ）因为c_n=a_n+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1（n∈N*），dn+1=cdn=2d_n+1，因此d_n+1+1=2（d_n+1）（n∈N*）．
由于d₁=c₁=3，
所以{d_n+1}是首项为d₁+1=4，公比为2的等比数列．
故d_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，所以d_n=2ⁿ⁺¹-1．
（Ⅲ）解法一：g(

dn+1

2

)=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)，
则bn=

2n-1g(2)+2g(2n-1)

2n+1

=

a

4

+

g(2n-1)

2n

，b_n+1=

a

4

+

g(2n)

2n+1

.bn+1-bn=

g(2n)

2n+1

-

g(2n-1)

2n

=

2n-1a+2g(2n-1)

2n+1

-

g(2n-1)

2n

=

a

4

．
因为a为常数，则数列{b_n}是等差数列．
解法二：因为g（x₁x₂）=x₁g（x₂）+x₂g（x₁）成立，且g（2）=a，
故g(

dn+1

2

)=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)=2^n-1g（2）+2[2^n-2g（2）+2g（2^n-2）]=2×2^n-1g（2）+2²g（2^n-2）=2×2^n-1g（2）+2²[2^n-3g（2）+2g（2^n-3）]=3×2^n-1g（2）+2³g（2^n-3）═（n-1）×2^n-1g（2）+2^n-1g（2）=n•2^n-1g（2）=an•2^n-1，
所以bn=

g( dn+1 2 )

dn+1

=

an•2n-1

2n+1

=

a

4

n．
则bn+1-bn=

a

4

．
由已知a为常数，因此，数列{b_n}是等差数列．