题目

题型：不详难度：来源：

数列{a_n}的前n项和为S_n,a₁=1,a_n+1=2S_n(n∈N^*).
（1）求数列{a_n}的通项a_n;
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n.

答案

解析

（1）∵a_n+1=2S_n,∴S_n+1-S_n=2S_n,∴=3.
又∵S₁=a₁=1,
∴数列{S_n}是首项为1、公比为3的等比数列，
S_n=3^n-1(n∈N^*).
当n≥2时，a_n=2S_n-1=2·3^n-2(n≥2),
∴a_n=
（2）T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n.
当n=1时，T₁=1;
当n≥2时，T_n=1+4·3⁰+6·3¹+…+2n·3^n-2,                            ①
3T_n=3+4·3¹+6·3²+…+2n·3^n-1,                                   ②
①-②得：
-2T_n=-2+4+2(3¹+3²+…+3^n-2)-2n·3^n-1
=2+2·-2n·3^n-1
=-1+(1-2n)·3^n-1.
∴T_n=+·3^n-1(n≥2).
又∵T₁=a₁=1也满足上式，
∴T_n=+3^n-1(n-) (n∈N^*).