题目

题型：不详难度：来源：

等差数列{a_n}中，公差d≠0,a₂是a₁与a₄的等比中项，已知数列a₁,a₃,a_k, a_k,…, a_k,…成等比数列.
（1）求数列{k_n}的通项k_n;
（2）求数列的前n项和S_n.

答案

（1）k_n¹=3ⁿ⁺¹（2）S_n=-

解析

（1）由已知得(a₁+d)²=a₁·(a₁+3d),解得a₁=d或d=0（舍去），所以数列{a_n}的通项是a_n=nd,因为数列a₁,a₃,a_k,a_k,…,a_k,…成等比数列，即数列d,3d,k₁d,k₂d,…,k_nd,…成等比数列，其公比q==3,k₁d=3²d,故k₁=9,所以数列{k_n}是以k₁=9为首项，以3为公比的等比数列，故k_n=9×3^n-1=3ⁿ⁺¹.
(2)S_n=+++…+                                                ①
S_n=+++…++                                       ②
①-②并整理得S_n=-.