题目

题型：不详难度：来源：

设数列的前项的和，
（Ⅰ）求首项与通项；
（Ⅱ）设，，证明：.

答案

（Ⅰ）a₁=2，a_n=4ⁿ－2ⁿ, n="1,2,3," …,；（Ⅱ）同解析；

解析

(Ⅰ)由 S_n=a_n－×2ⁿ⁺¹+, n=1,2,3，… , ① 
得 a₁=S₁= a₁－×4+所以a₁=2.
再由①有 S_n－1=a_n－1－×2ⁿ+, n=2,3，4,…
将①和②相减得: a_n=S_n－S_n－1= (a_n－a_n－1)－×(2ⁿ⁺¹－2ⁿ),n="2,3," …
整理得: a_n+2ⁿ=4(a_n－1+2^n－1),n="2,3," … ,
因而数列{ a_n+2ⁿ}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,
即 : a_n+2ⁿ=4×4^n－1= 4ⁿ, n="1,2,3," …,
因而a_n=4ⁿ－2ⁿ, n="1,2,3," …,
(Ⅱ)将a_n=4ⁿ－2ⁿ代入①得:
S_n= ×(4ⁿ－2ⁿ)－×2ⁿ⁺¹ += ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ⁺¹－2)
= ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ－1)   
T_n= = × = ×(－ )
所以, = － )
= ×(－ ) <