题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
设数列的前项和为，已知，（为常数，，），且成等差数列．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列是首项为１，公比为的等比数列，记，，．证明：．

答案

，

解析

解：（新编题）
（1）∵，，∴，-------------------------2分
∴．
∵成等差数列，∴，
即，∴．---------------------------------------------------5分
解得，或（舍去）．-----------------------------------------------------------------6分
（2）∵，，
∴，-------------------8分
∴，------------------------------------------9分
又，∴数列的通项公式是．-----------------------------------10分
（3）证明：∵数列是首项为１，公比为的等比数列，∴．---------11分
∵，，
∴，　　　　　　　　　 ①
　 ，　　　　　　　　　　 ②
①式两边乘以得　　　 ③
由②③得
　    
将代入上式，得．-----------------------------------------14分
另证: 先用错位相减法求,再验证.
∵数列是首项为１，公比为的等比数列，∴． --------------11分
又，所以
      ①
       ②
将①乘以2得:            ③
①－③得: ,
整理得:                          -------------------------12分
将②乘以得:       ④
②－④整理得:

-----------------------------------------13分
∴               -----------------------------------------14分