题目
题型:不详难度:来源:
在数列中,,其中.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和;
(Ⅲ)证明存在,使得对任意均成立.
答案
(Ⅱ)当时,①式减去②式,数列的前项和
当时,.这时数列的前项和
(Ⅲ)存在,使得对任意均成立。
解析
,
.
由此可猜想出数列的通项公式为.
以下用数学归纳法证明.
(1)当时,,等式成立.
(2)假设当时等式成立,即,
那么
.
这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何都成立.
解法二:由,,
可得,
所以为等差数列,其公差为1,首项为0,故,所以数列的通项公式为.
(Ⅱ)解:设, ①
②
当时,①式减去②式,
得,
.
这时数列的前项和.
当时,.这时数列的前项和.
(Ⅲ)证明:通过分析,推测数列的第一项最大,下面证明:
. ③
由知,要使③式成立,只要,
因为
.
所以③式成立.
因此,存在,使得对任意均成立.
核心考点
举一反三
设是数列()的前项和,,且,,.
(I)证明:数列()是常数数列;
(II)试找出一个奇数,使以18为首项,7为公比的等比数列()中的所有项都是数列中的项,并指出是数列中的第几项.
已知数列{an}中
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}中,证明:
≤
设正整数数列{an}满足:a2=4,且对于任何
n∈N*,有.
(1)求a1,a3;
(2)求数列{ an }的通项an.
(I)若,,,存在,求的取值范围;
(II)若函数为上的增函数,,,,证明对任意,(用表示).
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