题目

题型：不详难度：来源：

.数列满足：，且
（1）设，证明数列是等差数列；（2）求数列、的通项公式；
（3）设，为数列的前项和，证明.

答案

(1) 见解析； (2)  ；    (3)证明:见解析。

解析

(1) 由,
从而证明是等差数列.
(2)在（1）的基础上，可先求出的通项公式，再根据求出的通项公式.
（3）先求出
下面解题的关键是确定,
然后再考虑数学归纳法进行证明即可.
(1) ,
为等差数列                   
(2)由(1),从而     
(3)
,当时,,不等式的左边=7,不等式成立
有当时,                      
故只要证,           
如下用数学归纳法给予证明:
①当时,,时,不等式成立;
②假设当时,成立
当时,
只需证: ,即证:     
令,则不等式可化为:
即
令,则
在上是减函数
又在上连续, ,故
当时,有
当时,所证不等式对的一切自然数均成立
综上所述,成立.