题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)定义在上的函数满足:对任意,都有,且;又数列满足:.
求证:(1)是数列的母函数;
(2)求数列的前项和.
(Ⅱ)已知是数列的母函数,且.若数列的前项和为,求证:.
答案
(2) (Ⅱ),,从而是以为首项,为公比的等比数列
又故当时,有
,化简得结论
解析
试题分析:(Ⅰ)(1)由题知,且
.
是数列的母函数;
(2) 由(1) 知:是首项和公差均为的等差数列,故.
①
②
①-②得:.
.
(Ⅱ)由题知:,. .
从而是以为首项,为公比的等比数列.
.
又
故当时,有:
.
点评:求解本题首先要正确理解所给信息母函数的实质,将其性质代入相应的函数式中推理;第一问的数列求和用到了错位相减法,这种方法是数列求和题常用到的方法,其适用于通项公式为关于n的一次函数式与指数式的乘积形式的数列
核心考点
试题【对于无穷数列和函数,若,则称是数列的母函数.(Ⅰ)定义在上的函数满足:对任意,都有,且;又数列满足:. 求证:(1)是数列的母函数;(2)求数列的前项和.(Ⅱ)】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和;
(3)设,记,证明:.
A.2011 | B.2012 | C.2013 | D.2014 |
(1)求的通项公式
(2)当时,求证:
A. | B. |
C. | D. |
A. | B. n2 | C. | D.3n2 –2n |
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