题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}满足a₁＋a₂＋…＋a_n＝n²(n∈N^*)．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)对任意给定的k∈N^*，是否存在p，r∈N^*(k<p<r)使，，成等差数列？若存在，用k分别表示p和r(只要写出一组)；若不存在，请说明理由．

答案

（1）a_n＝2n－1(n∈N^*)．（2）当k＝1时，不存在p，r；当k≥2时，存在p＝2k－1，r＝4k²－5k＋2满足题设．

解析

(1)当n＝1时，a₁＝1；当n≥2，n∈N^*时，a₁＋a₂＋…＋a_n－1＝(n－1)²，所以a_n＝n²－(n－1)²＝2n－1；综上所述，a_n＝2n－1(n∈N^*)．
(2)当k＝1时，若存在p，r使，，成等差数列，则＝－＝.因为p≥2，所以a_r<0与数列{a_n}为正数相矛盾，因此，当k＝1时不存在；
当k≥2时，设a_k＝x，a_p＝y，a_r＝z，则，所以z＝.令y＝2x－1，得z＝xy＝x(2x－1)，此时a_k＝x＝2k－1，a_p＝y＝2x－1＝2(2k－1)－1，所以p＝2k－1，a_r＝z＝(2k－1)(4k－3)＝2(4k²－5k＋2)－1，所以r＝4k²－5k＋2.
综上所述，当k＝1时，不存在p，r；当k≥2时，存在p＝2k－1，r＝4k²－5k＋2满足题设．