题目

题型：不详难度：来源：

已知数列，满足，其中.
（Ⅰ）若，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，且.
（ⅰ）记，求证：数列为等差数列；
（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项应满足的条件.

答案

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（ⅰ）证明略
（ⅱ）设集合，
当时，数列中必有某数重复出现无数次.
当时，均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次

解析

解：（Ⅰ）当时，有
 …………2分
.                        ………………3分
又因为也满足上式，所以数列的通项为.…………4分
（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的有，………………5分
所以
，
所以数列为等差数列.                              ………………7分
（ⅱ）设，（其中为常数且），所以

所以数列均为以7为公差的等差数列.            ………………9分
设，
（其中，为中的一个常数），
当时，对任意的有；         ………………10分
当时，

……………11分
①若，则对任意的有，所以数列为单调减数列；
②若，则对任意的有，所以数列为单调增数列；…12分
综上：设集合，
当时，数列中必有某数重复出现无数次.
当时，均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ……14分