题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知数列，满足：，当时，；对于任意的正整数，
．设数列的前项和为.
（Ⅰ）计算、，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）求满足的正整数的集合.

答案

（Ⅰ）（Ⅱ） 

解析

（1）由，当时，；令可求出猜想用数学归纳法证明.或者判断数列是等差数列求解；（2）由和，两式相减结合可求出错位相减法求出，解不等式，即解得.
（Ⅰ）在中，取，得，又，故 
同样取，可得 
由及两式相减，可得，
所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为，而，
故是公差为的等差数列，   ……………………………………………… （6分）
(注：猜想而未能证明的扣分；用数学归纳法证明不扣分.)
（Ⅱ）在中，令，得
由与两式相减，可得，
化简，得.
即当时，.
经检验也符合该式，所以的通项公式为.
∴.
.
两式相减，得.
利用等比数列求和公式并化简,得.
可见，对，.经计算，，
注意到数列的各项为正，故单调递增，
所以满足的正整数的集合为  ……………………………… （12分）