题目

题型：不详难度：来源：

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁＝1，a_n＋1＝S_n(n＝1，2，3，…)，证明：
(1)数列是等比数列；
(2)S_n＋1＝4a_n.

答案

（1）见解析（2）见解析

解析

(1)∵a_n＋1＝S_n＋1－S_n，a_n＋1＝S_n(n＝1，2，3，…)，∴(n＋2)S_n＝n(S_n＋1－S_n)，
整理得nS_n＋1＝2(n＋1)S_n，∴＝2·，即＝2，∴数列是等比数列．
(2)由(1)知：＝4·(n≥2)，于是S_n＋1＝4·(n＋1)·＝4a_n(n≥2)．又a₂＝3S₁＝3，∴S₂＝a₁＋a₂＝1＋3＝4a₁，∴对一切n∈N^*，都有S_n＋1＝4a_n.