题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=sinxcosxsinφ+cos²xcosφ+

1

2

cos（π+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（

π

3

，

1

4

）．
（1）求φ的值；
（2）将函数y=f（x）图象上各点向左平移

π

6

个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[-

π

4

，

2π

3

]上的单调递增区间．

答案

（1）函数f（x）=sinxcosxsinφ+cos²xcosφ+

1

2

cos（π+φ）
=

1

2

sin2xsinφ+

1+cos2x

2

cosφ-

1

2

cosφ
=

1

2

sin2xsinφ+

1

2

cos2xcosφ
=

1

2

cos(2x-φ)．
又函数图象过点（

π

3

，

1

4

）．
所以

1

4

=

1

2

cos(2×

π

3

-φ)，
又0＜φ＜π，所以φ=

π

3

---------（6分）
（2）由（1）知f（x）=

1

2

cos(2x-

π

3

)，将函数y=f（x）图象上各点向左平移

π

6

个单位长度后，
得到函数y=g（x）的图象，可知g（x）=

1

2

cos2x------------（8分）
因为x∈[-

π

4

，

2π

3

]，所以2x∈[-

π

2

，

4π

3

]，
由-

π

2

≤2x≤0和π≤x≤

4π

3

知函数g（x）在[-

π

4

，

2π

3

]上的单调递增区间为[-

π

4

，0]和[

π

2

，

2π

3

]--------（12分）