题目

题型：不详难度：来源：

已知

a

=(5

3

cosx，cosx)，

b

=(sinx，2cosx)，记函数f(x)=

a

•

b

+|

b

|2．
（1）求函数f（x）的周期及f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

答案

因为

a

=(5

3

cosx，cosx)，

b

=(sinx，2cosx)，
所以f(x)=

a

•

b

+|

b

|2=5

3

sinxcosx+2cos2x+sin²x+4cos²x
=5

3

sinxcosx+6cos2x+sin²x
=

5 3

2

sin2x+

1-cos2x

2

+3(1+cos2x)
=

5 3 sin2x+5cos2x+7

2

=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

，
∴T=

2π

2

=π．
当x∈{x|x=

π

6

+kπ，k∈Z}时，f（x）的最大值为

17

2

．
当x∈{x|x=

2π

3

+kπ，k∈Z}时，f（x）的最小值为-

3

2

．
（2）f（x）的单调增区间为：2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
∴kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
令k=0，-

π

3

≤x≤

π

6

∴0≤x≤

π

6

，
k=1，

2π

3

≤x≤

7π

6

∴

2π

3

≤x≤π．
f（x）在[0，π]上的单调递增区间：[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．