题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知向量

a

=（1-tanx，1），

b

=（1+sin2x+cos2x，-3），记f（x）=

a

•

b

（1）求f（x）的值域及最小正周期；
（2）若f(

α

2

)-f(

α

2

+

π

4

)=

6

，其中α∈(0， 

π

2

)，求角α．

答案

（1）根据条件可知：
f（x）=（1-tanx）•（1+sin2x+cos2x）-3=

cosx-sinx

cosx

(2cos2x+2sinxcosx)-3=2（cos²x-sin²x）-3=2cos2x-3
因为f（x）的定义域为{x|x≠kπ+

π

2

， k∈Z}，
∴-1＜cos2x≤1∴-5＜2cos2x-3≤-1
∴f（x）的值域为（-5，-1]，f（x）的最小正周期为π．

（2）f(

α

2

)-f(

α

2

+

π

4

)=2cosα-2cos(α+

π

2

)=2(cosα+sinα)=2

2

sin(α+

π

4

)=

6

．
所以，sin(α+

π

4

)=

3

2

，又因为α∈(0， 

π

2

)，所以α+

π

4

=

π

3

或α+

π

4

=

2π

3

，
所以α=

π

12

或α=

5π

12

．