题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知：关于x的方程2x²-（

3

+1）x+m=0的两根为sinθ和cosθ，θ∈（0，2π）．求：
（1）

tanθsinθ

tanθ-1

+

cosθ

1-tanθ

的值；
（2）m的值；
（3）方程的两根及此时θ的值．

答案

（1）由于关于x的方程2x²-（

3

+1）x+m=0的两根为sinθ和cosθ，故有

sinθ+cosθ= 3 +1 2 sinθcosθ= m 2

，
∴

tanθsinθ

tanθ-1

+

cosθ

1-tanθ

=

sin2θ

sinθ-cosθ

+

cos2θ

cosθ-sinθ

=

(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)

sinθ-cosθ

=sinθ+cosθ=

3 +1

2

．

（2）由sinθ+cosθ=

3 +1

2

、sinθcosθ=

m

2

，∴sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=(

3 +1

2

)2，即 1+m=(

3 +1

2

)2，解得 m=

3

2

．
（3）由以上可得，sinθ+cosθ=

3 +1

2

、sinθcosθ=

3

4

，解得 sinθ=

1

2

，cosθ=

3

2

； 或者 sinθ=

3

2

，cosθ=

1

2

．
故此时方程的两个根分别为

1

2

、

3

2

，对应θ的值为

π

6

 或

π

3

．