题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=cos(

π

3

+x)cos(

π

3

-x)-sinxcosx+

1

4

（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函数f（x）单调递增区间．

答案

（1）∵f(x)=cos(

π

3

+x)cos(

π

3

-x)-sinxcosx+

1

4

 …（1分）
=(

1

2

cosx-

3

2

sinx)(

1

2

cosx+

3

2

sinx)-

1

2

sin2x+

1

4

…（2分）
=

1

4

cos2x-

3

4

sin2x-

1

2

sin2x+

1

4

=

1+cos2x

8

-

3-3cos2x

8

-

1

2

sin2x+

1

4

…（4分）
=

1

2

(cos2x-sin2x)=

2

2

cos(2x+

π

4

)…（6分）
∴函数f（x）的最小正周期为 T=

2π

2

=π，…（7分）
当2x+

π

4

=2kπ（k∈Z）时，即x=-

π

8

+kπ（k∈Z）时，函数f（x）的最大值为

2

2

…（8分）
（ 2）设 2kπ-π≤2x+

π

4

≤2kπ，k∈z…（10分）
解之可得：kπ-

5

8

π≤x≤kπ-

π

8

，k∈z…（11分）
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

8

，kπ-

π

8

]，k∈z…（12分）