题目

题型：解答题难度：一般来源：浙江模拟

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，

π

3

]上的最大值为2．
（Ⅰ）求常数m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面积为

3 3

4

，求边长a．

答案

（1）由于 f(x)=2

3

sinx•cosx+2cos2x+m=2sin(2x+

π

6

)+m+1，-----（2分）
因为x∈[0 ， 

π

3

]，所以2x+

π

6

∈[

π

6

 ， 

5π

6

]．-------（3分）
因为函数y=sint在区间[

π

6

 ， 

π

2

]上是增函数，在区间[

π

2

 ， 

5π

6

]上是减函数，
所以当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，函数f（x）在区间[0 ， 

π

3

]上取到最大值为2．----（5分）
此时，f(x)max=f(

π

6

)=m+3=2，得m=-1．-------（6分）
（2）因为f（A）=1，所以2sin(2A+

π

6

)=1，
即sin(2A+

π

6

)=

1

2

，解得A=0（舍去）或A=

π

3

．----（8分）
因为sinB=3sinC，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，所以b=3c．①-------（10分）
因为△ABC面积为

3 3

4

，所以S=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin

π

3

=

3 3

4

，即bc=3．-----②
由①和②解得b=3，c=1．-------（12分）
因为a2=b2+c2-2bc•cosA=32+12-2×3×1×cos

π

3

，所以a=

7

．---（14分）