题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知向量

a

=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，x∈[-

π

5

，

π

2

]
（1）求证：(

a

-

b

)⊥(

a

+

b

)；
（2）|

a

+

b

|=

1

3

，求sin2x的值．

答案

（1）∵

a

=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)
∴

a

2=cos2

3x

2

+sin2

3x

2

=1，

b

2=cos2

x

2

+sin2

x

2

=1（3分）
∴(

a

-

b

)•(

a

+

b

)=

a

2-

b

2=0（4分）
∴(

a

-

b

)⊥(

a

+

b

)（5分）

（2）∵|

a

+

b

|=

( a + b )2

=

a 2+2 a • b + b 2

=

1+2(cos 3x 2 •cos x 2 +sin 3x 2 •sin x 2 )+1

=

2+2cos2x

（8分）

又∵|

a

+

b

|=

1

3

∴cos2x=-

17

18

（10分）
∵x∈[-

π

5

，

π

2

]
∴2x∈[-

2π

5

，π]
∴sin2x=

35

18

（12分）