题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=sin

x

2

+

3

cos

x

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期，并求函数f（x）在x∈[-2π，2π]上的单调递增区间；
（2）函数f（x）=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数f（x）的图象．

答案

f（x）=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2sin（

x

2

+

π

3

）
（1）最小正周期T=

2π

1 2

=4π．令z=

x

2

+

π

3

，函数y=sinz的单调递增区间是[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z．
由-

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

5π

3

+4kπ≤x≤

π

3

+4kπ，k∈Z．
取k=0，得-

5π

3

≤x≤

π

3

，而[-

5π

3

，

π

3

]⊂[-2π，2π]
 函数f（x）在x∈[-2π，2π]上的单调递增区间是[-

5π

3

，

π

3

]．
 （2）把函数y=sinx图象向左平移

π

3

，得到函数y=sin（x+

π

3

 ）的图象，
再把函数y=sin（x+

π

3

 ） 的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（

x

2

+

π

3

）的图象，然后再把每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，即得到函数 y=2sin（

x

2

+

π

3

）的图象．