题目

题型：不详难度：来源：

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c=2b，A-C=

π

3

．求sinB的值．以下公式供解题时参考：
sinθ+sin∅=2sin

θ+ϕ

2

cos

θ-ϕ

2

，
sinθ-sin∅=2cos

θ+ϕ

2

sin

θ-ϕ

2

，
cosθ+cos∅=2cos

θ+ϕ

2

cos

θ-ϕ

2

，
cosθ-cos∅=-2sin

θ+ϕ

2

sin

θ-ϕ

2

．

答案

由正弦定理和已知条件a+c=2b得sinA+sinC=2sinB．
由和差化积公式得2sin

A+C

2

cos

A-C

2

=2sinB．
由A+B+C=π得sin

A+C

2

=cos

B

2

，
又A-C=

π

3

得

3

2

cos

B

2

=sinB，
所以

3

2

cos

B

2

=2sin

B

2

cos

B

2

．
因为0＜

B

2

＜

π

2

，cos

B

2

≠0，
所以sin

B

2

=

3

4

，
从而cos

B

2

=

1-sin2 B 2

=

13

4

所以sinB=

3

2

×

13

4

=

39

8

．