题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知偶函数f（x）=cosθsinx-sin（x-θ）+（tanθ-2）sinx-sinθ的最小值是0，求f（x）的最大值及此时x的集合．

答案

f（x）=cosθsinx-（sinxcosθ-cosxsinθ）+（tanθ-2）sinx-sinθ
=sinθcosx+（tanθ-2）sinx-sinθ
因为f（x）是偶函数，所以对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），
即sinθcos（-x）+（tanθ-2）sin（-x）-sinθ=sinθcosx+（tanθ-2）sinx-sinθ，
即（tanθ-2）sinx=0，所以tanθ=2
由

sin2θ+cos2θ=1 sinθ cosθ =2

解得

sinθ= 2 5 5 cosθ= 5 5

或

sinθ=- 2 5 5 cosθ=- 5 5

，此时，f（x）=sinθ（cosx-1）．
当sinθ=

2 5

5

时，f（x）=

2 5

5

（cosx-1）最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；
当sinθ=-

2 5

5

时，f（x）=-

2 5

5

（cosx-1）最小值为0，
当cosx=-1时，f（x）有最大值为

4 5

5

，自变量x的集合为{x|x=2kπ+π，k∈Z}．